Exercice
Thème : l'évolution d'un médicament injecté
Expérience : on injecte dans
le sang d'un malade une dose d'un médicament M. On note C0 la
concentration du médicament injecté, on donne C0=4
Hypothèses : On suppose que
ce médicament se répartit instantanément dans le sang et qu'il est ensuite
éliminé progressivement.
But : étudier la
concentration du médicament M en fonction du temps.
Soit (Cn)
la suite étudiant l’évolution de la concentration du médicament M injecté au
bout de n heures.
On a C0=4.
Après une heure d'injection la concentration du médicament M dans le sang
diminue de 30%.
1a) Calcul du coefficient multiplicateur qui permet de calculer la concentration
C1 du médicament M.
1-(t/100).
1-(30/100) = 1–0,3 = 0,7.
Donc le coefficient multiplicateur est de 0,7.
1b) Calcul de C1 : C1 est égal à la concentration
initiale C0 multipliée par le coefficient multiplicateur 0,7
C1 = 4*0,7 = 2,8 mg.L
2) La concentration du médicament M continue de diminuer de 30% chaque heure.
2a) Calcul de C2
C2
est égal à la concentration précédente multiplié par le coefficient
multiplicateur.
C2= 2,8*0,7= 1,96 mg.L
Calcul de C3
Il en est de
même pour C3 : on multiplie C2 par 0,7.
C3=1,96*0,7 = 1,372 mg.L
Calcul de C4
Il en est de
même pour C4 : on multiplie C3 par 0,7.
C4=1,372*0,7= 0,9604 mg.L
2b) Je
démontre que Cn+1 = 0,7*Cn
On remarque
qu’à la question précédente, on multiplie une concentration Cn par
le coefficient multiplicateur 0,7 pour obtenir la concentration suivante.
Pour une valeur
quelconque de n, on a :
Cn+1 =
Cn – (30/100)*Cn = Cn*(1-0,3) = 0,7*Cn
D’où Cn+1
= Cn * 0,7.
On remarque
donc que la suite (Cn) est une suite géométrique de raison q = 0,7.
2c) Je donne l'expression de Cn en fonction de n.
Cn=4*0,7^n
2d) Je calcule C12 et C13
C12=4*O,7^12=0,0553651488 mg.L
C13 = 4*0,7^13 = 0,03875560416 mg.L
2e) Le médicament est éliminé pour Cn<0,05 mg.L.
Je calcule donc après combien d'heures on peut considérer que le médicament est
éliminé.
On peut considérer que le médicament est éliminé après 13 heures car C12>0,05>C13.
Conclusion :
En une demi-journée, l'organisme est capable d'éliminer un médicament.
Après treize heures, il faut donc réinjecter une dose de médicament pour prolonger son effet.
L’évolution de la concentration du
médicament au fil du temps.
Courbe de l’évolution de la
concentration du médicament M au fil du temps.
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